Saya, Logika dan Internet
Bagian TigaArmahedi Mahzar (c) 2013
Melanjutkan kisah perjalanan saya di dunia logika dgn wahana mayantara. Pada blog yg lalu saya bercerita bahwa semua itu bermula dari pertemuan saya di mayantara dgn aljabar Brown
dari dlm buku Laws of Form
yg samar itu. Di mayantara itu jg saya menemukan aljabar Kotak Kauffman
Ketika saya mengganti huruf-huruf di aljabar kotak Kauffman dgn bola-bola warna-warni
, maka sampailah saya pd sebuah permainan hapus-hapusan kotak warna yg isomorfik dgn aljabar logika Boole. Yang tak saya duga adlh kenyataan bahwa dgn permainan hapus-hapusan kotak warna yg kekanak-kanakan itulah saya bisa menemukan sejumlah fakta logika yg sebelumnya belum pernah ditemukan orang.
PENEMUAN PERTAMA:
aksioma REDUCTIO AD ABSURDUM
Logika Brown yg isomorfik dgn aljabar Boole itu ternyata disederhanakan menjadi aljabar Kauffman dgn satu aksioma saja, yaitu aksioma Huntington
[[a][b]][[a]b]=a yg dlm notasi aljabar kotak adlh 
Sebenarnya, tak ada yg original dari penemuan Kauffman ini. Soalnya, Huntington jauh-jauh hari telah menemukan bahwa aljabar Boole dpt diturunkan dari ketiga aksiomanya yaitu Komutativitas, Asosiativitas dan aksioma yg dijadikan aksioma tunggal oleh Kauffman itu. Kauffman bisa menghilangkan kedua aksioma Huntington yg lain karena penggunaan notasi kotak berdimensi dua itu komutativitas dan asosiativitas merupakan kenyataan visual yg tak perlu dinyatakan secara simbolik.
Namun, apakah sebenarnya aksioma Huntington itu? Setelah saya amati dgn cermat, jika kita menafsirkan pendampingan dua gambar sebagai operasi DAN dan menafsirkan KOSONG sebagai BENAR, maka rumus Huntington itu tak lain dari rumus Boole
(a'->b')(a'->b) = a
bagi sebuah prinsip logika yg sangat kuno, mendahului Aristoteles, yg dikenal sebagai prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM.
Prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM mengatakan bahwa sebuah pernyataan itu benar jika dan hanya jika penyangkalannya menyimpulkan suatu yg kontradiktif / SALAH.
Melihat hal itu tentu saja mencengangkan saya: ternyata logika modern yg matematis itu landasan terdasarnya adlh prinsip kuno yg mendahului logika tradisional Aristoteles.
PENEMUAN KEDUA:
PEMBUKTIAN KONJEKTUR ROBBINS
Penemuan lain yg menakjubkan saya adlh kenyataan bahwa dgn aljabar kotak kita bisa membuktikan aksioma Robbins
dgn sangat singkat. Robbins, mahasiswa Huntington, menyatakan bahwa aksioma Huntington itu sebaiknya diganti dgn rumus Boolean yg lebih sederhana yg kemudian disebut sebagai rumus Robbins. [[a[b]][ab]] = a
Tetapi sayangnya, Robbins tak bisa membuktikan bahwa memang seluruh aljabar Boole bisa diturunkan dari rumusnya beserta aksioma komutasi dan aksioma asosiasi. Berpuluh tahun matematikawan mencoba membuktikan kebenaran konjektur / dugaan Robbins itu, tapi gagal semua. Baru pd awal milenium ketiga ni William Mccune dgn bantuan program komputer ... bisa membuktikannya dgn menggunakan waktu mesin komputer selama lima hari.
Kauffman sendiri dgn menggunakan aljabar kotak bisa mereduksi pembuktian komputer yg sangat panjang itu menjadi pembuktian 14 buah lemma / dalil bantu.
Saya tak menyangka bahwa saya, menggunakan aljabar kotak, bisa menurunkan aksioma Huntington dari rumus Robbins dgn menggunakan sifat dualitas aljabar Boole hanya dlm 3 langkah.
[[a[b]][ab]]=a
Langkah 1: negasikan kedua ruas x=y -> [x]=[y]
[[[a[b]][ab]]]=[a]
Langkah 2: hapus negasi ganda karena [[x]]=x
[a[b]][ab] =[a]
Langkah 3: ganti [a] dgn A, sebaliknya a dgn [A] dan b dgn B
[[A][B]][[A]B]= A
yg tak lain dari pd Aksioma Huntington itu sendiri
Ajaib. Tapi sebenarnya saya telah menggunakan dua identitas Boole yg belum dibuktikan sebagai kaidah inferensi.Bagi banyak orang ni mungkin sebuah penyelundupan yg ilegal, tapi bagi saya ni bukannya sebuah kesalahan, tetapi keunggulan manusia untk memilih kaidah inferensi yg tepat. Misalnya Charles Sanders Peirce mempunyai lima kaidah inferensi fundamental..
Bagaimana pun, yg lebih mengherankan saya adlh kenyataan bahwa aksioma Robbins itu pun tak lain tak bukan daripada prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM jg jika rumusnya dibaca dgn penafsiran Brown tentang aljabar kotak, dimana pendampingan dibaca sebagai ATAU dan KOSONG dibaca sebagai SALAH.
Bagi saya penemuan ni memperkuat ketercengangan saya ketika mengetahui bahwa prinsip REDUCTIO AD ABSURDUM adlh fondasi aljabar logika modern Boole. PENEMUAN KETIGA:
KESATUAN SEMUA SILOGISME
Dengan bermain kotak logika berwarna ini, akhirnya saya menemukan bahwa semua silogisme absah Aristoteles Leibnitz itu, sebenarnya, adlh satu adanya. Asalnya, saya membaca di internet bahwa Christine Ladd-Franklin
menemukan satu rumus antilogisme yg bisa menurunkan semua silogisme absah yg menurut Leibnitz ada 24. Untuk membuktikan kebenaran dalil Ladd-Franklin itu saya mengubah formula antilogisme itu dlm gambar aljabar kotak yg dgn aturan hapus-hapusan menghasilkan satu kotak kosong. Ini artinya kedua alasan satu silogisme jika digabungkan dgn penyangkalan kesimpulannya adlh kontradiktif alas SALAH. Sayangnya pd mulanya saya hanya menemukan dua buah antilogisme Ebc Aab Iac Abc Aab Oac yg bisa menurunkan hanya 15 buah silogisme absah. Tapi belakangan saya dpt menemukan dua lagi antilogisme yaitu Eaa Ebc Aab Aac
Ebb Abc Aab Eac
yg bisa menurunkan 9 buah silogisme sisanya.
Untunglah, pd akhirnya saya bisa membuktikan bahwa keempat antilogisme itu ekivalen satu sama lainnya.
Dengan demikian dalil Ladd-Franklin itu terbukti kebenarannya. Namun, sebagai dampak sampingan, justru ada dalil lebih umum yg saya temukan:
semua silogisme itu ekivalen satu sama lainnya.
Jadi tiap silogisme absah sebenarnya, bukan hanya bisa diturunkan bukan hanya dari sebuah antilogisme, tetapi dari silogisme absah yg mana pun.
PENEMUAN KEEMPAT:
SISTEM GRAF EKSISTENSIAL SEDERHANA
Tapi perjalanan selanjutnya di Internet, saya menemukan suatu sistem logika simbolik yg lebih sederhana dari aljabar Brown yaitu sistem graf eksistensial dari Charles Sanders Peirce
yg hanya mengenal aksioma tunggal yaitu KOSONG. Tapi sayangnya sistem Peirce itu memerlukan lima kaidah inferensi. Jadi sistem Graf Eksistensial Peirce terdiri dari satu aksioma kebenaran : KOSONG dan lima kaidah inferensi Delesi : pq -> p Insersi : [p] -> [pq] Iterasi : p[q] -> p[pq] Deiterasi : p[pq] -> p[q] Negasi ganda: [[p]] = p
Rupanya Peirce menyembunyikan rumus-rumus implikatif Boole ke dlm kaidah-kaidah inferensi.
Tentu saja, saya agak kecewa melihat kenyataan ini. Namun, alhamdulillah, saya akhirnya menemukan bahwa kita dpt mermbuang empat kaidah inferensi itu menjadi satu saja yaitu ITERASIp[q]->p[pq], jika saja kita mau mengganti aksioma tunggal Peirce itu dgn sebuah aksioma baru yaitu KONSISTENSIp->p.
Dengan demikian seluruh aljabar Boole dpt diturunkan dari sistem graf eksistensial sederhana
M0 aksioma KONSISTENSI: p -> pM1 Kaidah ITERASI : p[q]= p[pq]
Tentu saja penemuan ni sangat membahagiakan saya. Soalnya, pd akhirnya saya menemukan bahwa semua isi alam logika sebenarnya berdasarkan satu asas saja yaitu konsistensi.
Setelah saya perhatikan dgn teliti ternyata bahwa aksioma konsistensi p->p bagi sistem graf eksistensial sebenarnya dpt diganti dgn dengan aksioma yg lebih sederhana yaitu INDIFERENSIp->BENAR / [p[ ]] . Dengan demikian sistem graf eksistensial yg paling sederhana adlh
M0 aksioma INDIFERENSI: p -> 1 M1 kaidah ITERASI : p[q] = p[pq].
CATATAN AKHIR
Kalau diperhatikan keempat penemuan itu sebenarnya sebuah perjalanan menuju proses penyederhanaan sistem aksiomatika logika. Ini adlh dimensi abstrak perjalanan logika saya. Sisi lain perjalanan saya yg lain adlh perjalanan menuju penyederhanaan notasi logika dari yg literal menuju yg obyektif konkret, dari aljabar logika abstrak menuju permainan logika kongkret. Bagaimana hasil pencarian saya akan permainan logika tersederhana itulah yg akan saya ceritakan pd blog lainnya lagi.
source : http://integralist.blogspot.com, http://youtube.com, http://bbc.co.uk
0 Response to "Saya, Logika dan Internet 3"
Post a Comment